Pembuktian teorema

Teorema 1

a.       Jika y, a є  R dengan y + a = a, maka y = 0

b.      Jika z dan b ≠ 0 є R dengan z.b = b, maka z = 1

c.       Jika a є R, maka a.0 = 0

Bukti Teorema 1:

a.       Jika y, a є  R dengan y + a = a, maka y = 0

y   = y + 0………………………sifat eksistensi є 0 (A3)

= y + ( a + (-a) )…………….sifat invers pada penjumlahan (A4)

= (y + a) + (-a)..…………….sifat asosiatif pada penjumlahan (A2)

y   = a + (-a)  …………….…….sifat invers pada penjumlahan (A4)

= 0

Maka y = 0

b.      Jika z dan b ≠ 0 є R dengan z.b = b, maka z = 1

z   = z . 1 ……………………….sifat eksistensi є 1 (M3)

= z . (b.1/b) …….……….........sifat invers pada perkalian (M4)

= (z . b). 1/b ……………..……sifat asosiatif pada perkalian (M2)

z   = b . 1/b  ………….……….….sifat inversi pada perkalian (M4)

= 1

Maka z =1

c.       Jika  a є R, maka a . 0 = 0

a . 0          =  a . ( 1 + (-1) ) …….....sifat invers  pada penjumlahan (A4)

= (a.1) + ( a . (-1) ) …….sifat distributif (D1)

=  a + ( a . (-1))..………..sifat identitas pada penjumlahan

=  a + ((-1) . a) ………....sifat komutatif perkalian (M1)

=  a + (-a)  ……………..sifat inversi penjumlahan (A4)

= 0

Maka a.0 = 0

Teorema 2

Jika a,b є R sehingga a + b = 0, maka b = -a

Bukti teorema 2:

a.       Jika a,b є R sehingga a + b = 0, maka b = -a

b   = b + 0 ………………….sifat eksistensi є 0 (A3)

= b + ( a + (-a) )………...sifat invers pada penjumlahan (A4)

= ( b + a ) + (-a)  ……….sifat asosiatif pada penjumlahan (A2)

= ( a + b ) + (-a) ………..sifat komutatif pada penjumlahan (A1)

b   = 0 + (-a) ……………….sifat eksistensi є 0 (A3)

= -a

Maka b = -a