Himpunan adalah sebuah kumpulan dari beberapa objek baik itu benda abstrak maupun benda real (nyata) yang dapat didefenisikan dengan jelas. Artinya benda-benda tersebut jelas adanya dan memiliki keterangan yang jelas.
A. Penyajian Himpunan
1. Enumerasi (berhingga)
Enumerasi adalah menuliskan semua elemen himpunan yang bersangkutan diantara dua buah tanda kurung kurawal. Biasanya suatu himpunan diberi nama dengan menggunakan huruf kapital maupun dengan menggunakan simbol-simbol lainnya.
Contoh:
Himpunan Y berisi dari empat anggota yaitu 3,4,5 dan 6 yang dapat ditulis Y={3,4,5,6}
2. Simbol baku
Simbol baku digunakan untuk mendefenisikan himpunan yang sering digunakan, antara lain:
P= himpunan bilangan bulat positif = {1,2,3,...}
N= himpunan bilangan asli = {1.2...}
Z= himpunan bilangan bulat = {...,-2,-1,0,1,2,...}
Q= himpunan bilangan rasional
R= himpunan bilangan riil
C= himpunan bilangan kompleks
Contoh:
A={X|X>5, X ? bil. Z}
A={..,1,2,3,4}
3. Diagram venn
Diagram venn adalah cara menyatakan sebuah himpunan dengan menggambarkannnya dalam bentuk grafis. masing masing himpunan digambarkan dalam sebuah lingkaran dan dilingkupi oleh himpunan semesta (U) yang dinyatakan dalam bentuk persegi empat seperti pada gambar berikut:
Contoh:
Misalkan U={1,2,3,4,5,…,9}, A={3,4,5,6} dan B={5,6,7,8}. Gambarkan ketiga himpunan tersebut kedalam diagram venn!
Catatan: Perhatikan bahwa A dan B memiliki anggota yang sama yaitu 5 dan 6. Anggota U yang lain, yaitu 9 dan 1,2 tidak termasuk di dalam himpunan A dan B.
Jadi gambar diagram vennnya adalah:
B. Cara Menyatakan Himpunan
1. Menyatakan Himpunan Dengan Kata-kata
Suatu himpunan yang banyaknya anggota berhingga maupun tak berhingga dapat dinyatakan dengan kata-kata.
Contoh:
P = { radio, televisi, telepon, surat } Dapat dinyatakan bahwa P adalah himpunan alat-alat komunikasi
Q = { a, i, u, e, o } Dapat dinyatakan bahwa Q adalah himpunan huruf vokal dalam abjad
2. Menyatakan Himpunan Dengan Mendaftarkan Semua Anggota
Menyatakan himpinan dengan cara mendaftarkan semua anggotanya satu per satu dikenal dengan cara Roter.
Contoh:
P adalah himpunan nama-nama hari dalam 1 minggu. Dapat dituliskan dengan P = { senin, selasa, rabu kamis, jumat, sabtu, minggu }.
Q adalah himpunan bilangan genap yang terdiri dari 10. Dapat dituliskan dengan Q = { 12, 14, 16, 18, 20, . . }
3. Menyatakan Himpunan Dengan Notasi Pembentuk Himpunan
Menyatakan himpunan dengan notasi pembentuk himpunan adalah dengan cara menuliskan syarat-syarat keanggotaannya. Cara ini dikenal dengan cara Rule. Cara menyatakan himpunan dengan notasi pembentuk himpunan sangat efektif terutama untuk menyatakan suatu himpunan yang anggotanya tidak terbilang.
Contoh:
Misalkan P adalah himpunan binatang berkaki empat. Setiap anggota himpunan P dimisalkan dengan X maka himpunan P dapat dinotasikan dengan, P = { X | X adalah binatang berkaki empat }.
C. Kardinalitas
Kardinalitas adalah himpunan bilangan yang menunjukkan banyaknya jumlah Anggota. Jumlah anggota dalam suatu himpunan dinamakan kardinalitas dari himpunan tersebut. Untuk menyatakan kardinalitas himpunan A ditulis dengan notasi: n(A) atau |A|.
Contoh:
B = { x | x merupakan bilangan prima yang lebih kecil dari 10 }
B = {2, 3, 5, 7 } maka |B| = 4
A = {b, {b}, {{b}} }, maka |A| = 3
D. Macam-macam Himpunan
1. Himpunan Kosong
Himpunan kosong adalah suatu himpunan yang tidak memiliki anggota sama sekali. Himpunan kosong dilambangkan dengan tanda {} atau Ø .
Contoh:
B = {bilangan genap antara 2 dan 4}
ditulis B = Ø
2. Himpunan Semesta
Himpunan semesta adalah himpunan yang memuat semua anggota atau elemen, bisa juga menggunakan diagram venn. Himpunan semesta juga disebut himpunan uiversal dan ditulis dengan huruf S.
contoh:
A = {1,3,5,7,9}
himpunan semestanya berupa:
S = {bilangan asli} atau S = {bilangan cacah} atau S = {bilangan ganjil kurang dari 10}
Diketauhi : U={5,6,7,8,9,10,11}
A = {6,7,8,9} dan B = {8,9,10,11}, maka maka
Diagram vennya adalah:
3. Himpunan Bagian
Himpunan bagian adalah apabila setiap unsur dalam himpunan B termasuk juga anggota A, maka B merupakan bagian dari himpunan A.
Contoh :
Himpunan B = {a,c,e} dan A = {a,b,c,d,e} maka B A
4. Himpunan Lepas
Himpunan lepas adalah suatu himpunan yang tidak mempunyai anggota persekutuan dengan himpunan lain.
Contoh:
Himpunan A = {d,e,f} dan B = {g,h,i} maka himpunan A tidak mempunyai anggota persekutuan dengan himpunan B atau A // B
5. Himpunan Kuasa
Himpunan kuasa adalah suatu himpunan yang memiliki semua elemen merupakan semua himpunan bagian termasuk himpunan kosong dan himpunan itu sendiri.
Contoh:
Jika B = {3,4} maka P(B) = { Ø, {3},{4}, {3,4}}
6. Himpunan Ekivalen
Himpunan ekivalen adalah himpunan yang anggotanya sama.
Contoh:
Jika Y = {b,c,d} dab Z={d,c,b}, maka A ~ B sebab |A|=|B|=3
7. Himpunan yang Sama
Himpunan yang sama adalah himpunan yang apabila kedua himpunan memiliki elemen atau anggota yang sama.
Contoh:
Jika X = {a,b,c} dan Y = {a,b,b,c}, maka A=B ? AB
8. Himpunan Berhingga dan Tak Hingga
Himpunan berhingga adalah suatu himpunan yang jumlah anggotanya dapat dihitung sedangkan Himpunan tak hingga adalah suatu himpunan yang jumlah anggotanya tidak terbatas atau tak hingga.
Contoh Himpunan Berhingga:
D = {2,4,6,8} Himpunan D jumlah angotanya dapat dihitung yaitu sebanyak 4 buah.
Contoh himpunan tak Berhingga :
A= {bilangan genap}, maka nilai A = {…,2,4,...}
E. Operasi Pada Himpunan
1. Irisan (?)
Irisan adalah sebuah himpunan yang memiliki elemen atau nggotanya yang sama, dimana setiap elemen atau anggotanya terdapat pada himpunan A dan himpunan B.
Notasi : A?B = {X?X ? A dan X ? B}
2. Gabungan (?)
Gabungan adalah himpunan yang setiap anggotanya merupakan anggota himpunan A atau himpunan B, kecuali yang sama ditulis sekali.
Notasi : A?B = {X?X ? A atau X ? B}
3. Komplemen (c/’)
Komplemen adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan elemen U yang bukan elemen A
Notasi : A’={ X?X ? U, X ? A}
4. Selisih (-)
Selisih adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan elemen dari A tetapi bukan elemen dari B. Selisih antara A dan B dapat juga dikatakan sebagai complement himpunan B relative terhadap himpunan A.
Notasi : A-B = {X?X ? A dan X B}
5. Penjumlahan (+)
Penjumlahan adalah dengan cara mencari terlebih dahulu irisan dan gabungannya element yang sama tidak ditulis dan dominan di A atau B.
Notasi : A+B = {X?X ? A dan X ? B, tapi X A?B}
6. Perkalian (x)
Perkalian adalah himpunan yang elemennya semua pasangan berurutan yang dibentuk dari komponen pertama dari himpunan A dan komponen kedua dari himpunan B.
Notasi : AxB = {(a,b)?a ? A dan b ? B}
A. Penyajian Himpunan
1. Enumerasi (berhingga)
Enumerasi adalah menuliskan semua elemen himpunan yang bersangkutan diantara dua buah tanda kurung kurawal. Biasanya suatu himpunan diberi nama dengan menggunakan huruf kapital maupun dengan menggunakan simbol-simbol lainnya.
Contoh:
Himpunan Y berisi dari empat anggota yaitu 3,4,5 dan 6 yang dapat ditulis Y={3,4,5,6}
2. Simbol baku
Simbol baku digunakan untuk mendefenisikan himpunan yang sering digunakan, antara lain:
P= himpunan bilangan bulat positif = {1,2,3,...}
N= himpunan bilangan asli = {1.2...}
Z= himpunan bilangan bulat = {...,-2,-1,0,1,2,...}
Q= himpunan bilangan rasional
R= himpunan bilangan riil
C= himpunan bilangan kompleks
Contoh:
A={X|X>5, X ? bil. Z}
A={..,1,2,3,4}
3. Diagram venn
Diagram venn adalah cara menyatakan sebuah himpunan dengan menggambarkannnya dalam bentuk grafis. masing masing himpunan digambarkan dalam sebuah lingkaran dan dilingkupi oleh himpunan semesta (U) yang dinyatakan dalam bentuk persegi empat seperti pada gambar berikut:
Contoh:
Misalkan U={1,2,3,4,5,…,9}, A={3,4,5,6} dan B={5,6,7,8}. Gambarkan ketiga himpunan tersebut kedalam diagram venn!
Catatan: Perhatikan bahwa A dan B memiliki anggota yang sama yaitu 5 dan 6. Anggota U yang lain, yaitu 9 dan 1,2 tidak termasuk di dalam himpunan A dan B.
Jadi gambar diagram vennnya adalah:
B. Cara Menyatakan Himpunan
1. Menyatakan Himpunan Dengan Kata-kata
Suatu himpunan yang banyaknya anggota berhingga maupun tak berhingga dapat dinyatakan dengan kata-kata.
Contoh:
P = { radio, televisi, telepon, surat } Dapat dinyatakan bahwa P adalah himpunan alat-alat komunikasi
Q = { a, i, u, e, o } Dapat dinyatakan bahwa Q adalah himpunan huruf vokal dalam abjad
2. Menyatakan Himpunan Dengan Mendaftarkan Semua Anggota
Menyatakan himpinan dengan cara mendaftarkan semua anggotanya satu per satu dikenal dengan cara Roter.
Contoh:
P adalah himpunan nama-nama hari dalam 1 minggu. Dapat dituliskan dengan P = { senin, selasa, rabu kamis, jumat, sabtu, minggu }.
Q adalah himpunan bilangan genap yang terdiri dari 10. Dapat dituliskan dengan Q = { 12, 14, 16, 18, 20, . . }
3. Menyatakan Himpunan Dengan Notasi Pembentuk Himpunan
Menyatakan himpunan dengan notasi pembentuk himpunan adalah dengan cara menuliskan syarat-syarat keanggotaannya. Cara ini dikenal dengan cara Rule. Cara menyatakan himpunan dengan notasi pembentuk himpunan sangat efektif terutama untuk menyatakan suatu himpunan yang anggotanya tidak terbilang.
Contoh:
Misalkan P adalah himpunan binatang berkaki empat. Setiap anggota himpunan P dimisalkan dengan X maka himpunan P dapat dinotasikan dengan, P = { X | X adalah binatang berkaki empat }.
C. Kardinalitas
Kardinalitas adalah himpunan bilangan yang menunjukkan banyaknya jumlah Anggota. Jumlah anggota dalam suatu himpunan dinamakan kardinalitas dari himpunan tersebut. Untuk menyatakan kardinalitas himpunan A ditulis dengan notasi: n(A) atau |A|.
Contoh:
B = { x | x merupakan bilangan prima yang lebih kecil dari 10 }
B = {2, 3, 5, 7 } maka |B| = 4
A = {b, {b}, {{b}} }, maka |A| = 3
D. Macam-macam Himpunan
1. Himpunan Kosong
Himpunan kosong adalah suatu himpunan yang tidak memiliki anggota sama sekali. Himpunan kosong dilambangkan dengan tanda {} atau Ø .
Contoh:
B = {bilangan genap antara 2 dan 4}
ditulis B = Ø
2. Himpunan Semesta
Himpunan semesta adalah himpunan yang memuat semua anggota atau elemen, bisa juga menggunakan diagram venn. Himpunan semesta juga disebut himpunan uiversal dan ditulis dengan huruf S.
contoh:
A = {1,3,5,7,9}
himpunan semestanya berupa:
S = {bilangan asli} atau S = {bilangan cacah} atau S = {bilangan ganjil kurang dari 10}
Diketauhi : U={5,6,7,8,9,10,11}
A = {6,7,8,9} dan B = {8,9,10,11}, maka maka
Diagram vennya adalah:
3. Himpunan Bagian
Himpunan bagian adalah apabila setiap unsur dalam himpunan B termasuk juga anggota A, maka B merupakan bagian dari himpunan A.
Contoh :
Himpunan B = {a,c,e} dan A = {a,b,c,d,e} maka B A
4. Himpunan Lepas
Himpunan lepas adalah suatu himpunan yang tidak mempunyai anggota persekutuan dengan himpunan lain.
Contoh:
Himpunan A = {d,e,f} dan B = {g,h,i} maka himpunan A tidak mempunyai anggota persekutuan dengan himpunan B atau A // B
5. Himpunan Kuasa
Himpunan kuasa adalah suatu himpunan yang memiliki semua elemen merupakan semua himpunan bagian termasuk himpunan kosong dan himpunan itu sendiri.
Contoh:
Jika B = {3,4} maka P(B) = { Ø, {3},{4}, {3,4}}
6. Himpunan Ekivalen
Himpunan ekivalen adalah himpunan yang anggotanya sama.
Contoh:
Jika Y = {b,c,d} dab Z={d,c,b}, maka A ~ B sebab |A|=|B|=3
7. Himpunan yang Sama
Himpunan yang sama adalah himpunan yang apabila kedua himpunan memiliki elemen atau anggota yang sama.
Contoh:
Jika X = {a,b,c} dan Y = {a,b,b,c}, maka A=B ? AB
8. Himpunan Berhingga dan Tak Hingga
Himpunan berhingga adalah suatu himpunan yang jumlah anggotanya dapat dihitung sedangkan Himpunan tak hingga adalah suatu himpunan yang jumlah anggotanya tidak terbatas atau tak hingga.
Contoh Himpunan Berhingga:
D = {2,4,6,8} Himpunan D jumlah angotanya dapat dihitung yaitu sebanyak 4 buah.
Contoh himpunan tak Berhingga :
A= {bilangan genap}, maka nilai A = {…,2,4,...}
E. Operasi Pada Himpunan
1. Irisan (?)
Irisan adalah sebuah himpunan yang memiliki elemen atau nggotanya yang sama, dimana setiap elemen atau anggotanya terdapat pada himpunan A dan himpunan B.
Notasi : A?B = {X?X ? A dan X ? B}
2. Gabungan (?)
Gabungan adalah himpunan yang setiap anggotanya merupakan anggota himpunan A atau himpunan B, kecuali yang sama ditulis sekali.
Notasi : A?B = {X?X ? A atau X ? B}
3. Komplemen (c/’)
Komplemen adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan elemen U yang bukan elemen A
Notasi : A’={ X?X ? U, X ? A}
4. Selisih (-)
Selisih adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan elemen dari A tetapi bukan elemen dari B. Selisih antara A dan B dapat juga dikatakan sebagai complement himpunan B relative terhadap himpunan A.
Notasi : A-B = {X?X ? A dan X B}
5. Penjumlahan (+)
Penjumlahan adalah dengan cara mencari terlebih dahulu irisan dan gabungannya element yang sama tidak ditulis dan dominan di A atau B.
Notasi : A+B = {X?X ? A dan X ? B, tapi X A?B}
6. Perkalian (x)
Perkalian adalah himpunan yang elemennya semua pasangan berurutan yang dibentuk dari komponen pertama dari himpunan A dan komponen kedua dari himpunan B.
Notasi : AxB = {(a,b)?a ? A dan b ? B}
Komentar
Posting Komentar